BAJESIANISCHE INFERENZ

Von NATALIA AFEK (Predictive Solutions)

Die Bayes’sche Inferenz ist eine Methode der statistischen Inferenz. Sie ist nach dem britischen Mathematiker und Pfarrer Thomas Bayes benannt, der im 18. Jahrhundert die Bayes’sche Wahrscheinlichkeitstheorie formulierte. Es handelt sich um eine Methode der Datenanalyse, die es ermöglicht, die Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereignisse nicht nur aus den verfügbaren Beweisen, sondern auch aus dem Vorwissen zu bestimmen.

WIE FUNKTIONIERT DIE BAYESIANISCHE INFERENZ?

Die Grundlage der Bayes’schen Schlussfolgerung ist das Bayes’sche Theorem, das wie folgt geschrieben werden kann:

Wobei:

• P(A∣B) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A unter der Bedingung des Ereignisses B,
• P(B∣A) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B unter der Bedingung des Ereignisses A,
• P(A) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ohne zusätzliche Bedingungen,
• P(B) ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B ohne zusätzliche Bedingungen.

Der Hauptzweck der Bayes’schen Inferenz besteht darin, unser Wissen über das Ereignis A zu aktualisieren, indem wir neue Beweise in Form des Ereignisses B berücksichtigen. Mit anderen Worten, wir wollen bestimmen, wie hoch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A ist, nachdem wir die neuen Informationen aus dem Ereignis B berücksichtigt haben.

Um besser zu verstehen, wie diese Methode funktioniert, betrachten wir ein einfaches Beispiel. Nehmen wir an, wir haben einen Test für eine Krankheit, der eine gewisse Wirksamkeit hat, aber auch falsche Ergebnisse liefern kann. Unser Ziel ist es, die Wahrscheinlichkeit zu bestimmen, dass eine Person wirklich krank ist, wenn der Test ein positives Ergebnis zeigt.

• P(A) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Person ohne zusätzliche Informationen wirklich krank ist.
• P(B∣A) ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Test ein positives Ergebnis liefert, wenn die Person wirklich krank ist.
• P(B) ist die Wahrscheinlichkeit eines positiven Testergebnisses, unabhängig davon, ob die Person krank ist oder nicht.

Wir wollen P(A∣B) berechnen, d. h. die Wahrscheinlichkeit, dass die Person wirklich krank ist, wenn der Test ein positives Ergebnis zeigt. Wenn wir mehr Informationen und Testergebnisse erhalten, aktualisieren wir unser Wissen über die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person krank ist. Dies ermöglicht es den Ärzten, genaue diagnostische Entscheidungen zu treffen.

WAS IST DER UNTERSCHIED ZWISCHEN KLASSISCHER UND BAYESIANISCHER INFERENZ??

Der klassische Ansatz der Wahrscheinlichkeitsrechnung, auch objektive oder physikalische Wahrscheinlichkeit genannt, beruht auf der Häufigkeitsanalyse. Er berücksichtigt nicht die Eigenschaften des untersuchten Phänomens oder Objekts, sondern nur „harte“ Daten, die zufällige Ereignisse aus der Anzahl aller möglichen Ereignisse betreffen. Mit dieser Wahrscheinlichkeitsrechnung lässt sich die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines bestimmten Ereignisses berechnen.

Der Zweck der Bayes’schen Wahrscheinlichkeitsrechnung besteht ebenfalls darin, die Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Ereignisses zu berechnen, aber in diesem Fall ist die Wahrscheinlichkeit ein Maß für den subjektiven Grad des Glaubens an sein Eintreten. Ausgangspunkt ist hier die a priori-Wahrscheinlichkeit. Sie wird vor der Erkenntnis, vor der empirischen Erfahrung des Ereignisses formuliert. Erst in einem zweiten Schritt aktualisieren wir diese anfängliche Überzeugung mit den eingehenden Daten und gelangen so zu der a posteriori-Wahrscheinlichkeit (nachdem das Ereignis eingetreten ist).

Obwohl die Wahrscheinlichkeit beim Bayes’schen Ansatz subjektivistisch interpretiert wird, gibt es für die Bewertung der Wahrscheinlichkeit des Eintretens eines Phänomens eine vollständig formale Berechnungsmethode, die den Grundprinzipien der Wahrscheinlichkeitsrechnung folgt.

Der Bayes’sche Ansatz ist flexibler, da er die Einbeziehung von Vorwissen und eine kontinuierliche Aktualisierung der Wahrscheinlichkeiten ermöglicht. Dies ist besonders nützlich in Situationen, in denen die verfügbaren Daten begrenzt oder schwer zu beschaffen sind. Der klassische Ansatz hingegen wird in Situationen verwendet, die durch die verfügbaren Daten vollständig bestimmt werden können und leicht reproduzierbar sind.

Die Wahl zwischen Bayes’scher und klassischer Inferenz hängt von der Art der Daten, den Zielen der Analyse und den Präferenzen bei der Interpretation der Ergebnisse ab. Der Bayes’sche Ansatz ist eher subjektiv und dynamisch, während der klassische Ansatz eine objektivere und stabilere Methode zur Bewertung von Hypothesen im Zusammenhang mit empirischen Daten bietet.

BAJESIANISCHE INFERENZ IN DER DATENANALYSE

Methoden, die Bayes’sche Inferenz verwenden, sind in den meisten analytischen Lösungen verfügbar, einschließlich PS IMAGO PRO. Auf ihrer Grundlage kann der Analytiker u.a. folgende Verfahren anwenden

• Tests für eine Stichprobe mit Normal-, Binomial- und Poisson-Verteilung,
• Tests für abhängige oder unabhängige Stichproben mit Normalverteilungen,
• Pearson-Korrelation,
• lineare Regression,
• einseitige ANOVA, einschließlich wiederholter Messungen,
• log-lineare Modelle.

Die Anwendung dieser Techniken im Rahmen eines Bayes’schen Ansatzes kann besonders nützlich sein:

• in der Medizin: bei klinischen und epidemiologischen Studien sind die Daten oft begrenzt und das medizinische Vorwissen ist umfassend und gut dokumentiert,
• im Finanzwesen: Bei der Modellierung von Vermögenspreisen kann die Bayes’sche Inferenz die historische Volatilität und die Einschätzungen von Experten über künftige Markttrends berücksichtigen und so eine ausgewogenere Vorhersage ermöglichen, die besser auf Marktanomalien eingeht.

Bayes’sche Methoden sind auch im Bereich des maschinellen Lernens und der künstlichen Intelligenz weit verbreitet. Sie ermöglichen einen effizienten Umgang mit Unsicherheit und die Modellierung komplexer Beziehungen in großen Datensätzen. Dies ist von entscheidender Bedeutung für die Schaffung adaptiver und intelligenter Systeme, die in sich dynamisch verändernden Umgebungen lernen und sich weiterentwickeln können.

ZUSAMMENFASSUNG

Die Bayes’sche Inferenz ist ein Ansatz für die Wahrscheinlichkeitsrechnung, der eine effiziente Inferenz auf der Grundlage der verfügbaren Daten und des Vorwissens ermöglicht. Sie wird in verschiedenen Bereichen eingesetzt, von der Medizin über das Finanzwesen bis hin zum Ingenieurwesen. Das Verständnis dieser Methode kann der Schlüssel sein, um bessere Entscheidungen zu treffen, komplexe Probleme zu lösen und das Potenzial von Daten voll auszuschöpfen. Es lohnt sich daher, sich mit diesem Thema und der Anwendung der Bayes’schen Inferenz in der Datenanalyse zu beschäftigen.